SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES EM EQUAÇÃO DO 2 GRAU

Calculando Facilmente suas Raízes

Observe a seguinte equação:

x² - 5x + 6 = 0

Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?

É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.

Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?"?

Segundo Girard, vimos que x² - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa oproduto destas raízes.

Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.

Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:

Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.

Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.

Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2° grau

Encontre as raízes da equação do segundo grau x² - 6x + 5 = 0.

Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".

Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:

Portanto 1 e 5 são as raízes da equação x² - 6x + 5 = 0.

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Encontre as raízes da equação do segundo grau x² + 2x - 8 = 0.

Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".

Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:

Portanto -4 e 2 são as raízes da equação x² + 2x - 8 = 0.

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Encontre as raízes da equação do segundo grau 4x² - 12x + 8 = 0.

Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.

Segundo Girard a soma das raízes é dada por:

E o produto é dado por:

Assim sendo, para S temos:

E para P temos:

Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".

Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:

Portanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x² - 12x + 8 = 0.

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Quais as raízes da equação x² + 4x + 12 = 0.

Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.

Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?

Calculemos então o discriminante da equação:

Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.

Portanto a equação x² + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.

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Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.

Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.

CONJUNTO VERDADE DE EQUAÇÕES DO 2ºGRAU

Conjunto Verdade de equações do 2° grau

A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir:

Para o caso das equações completas temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:

E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:

Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau

Encontre as raízes da equação: 2x² - 6x - 56 = 0

Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:

Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero.

Logo:

As raízes da equação 2x² - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.

DISCRIMINANTE DA EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

Discriminante da equação do 2° grau

O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.

Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b² - 4ac, isto é:Δ = b² - 4ac.

Discriminante menor que zero

Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois :

Discriminante igual a zero

Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois :

Discriminante maior que zero

Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois :

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2ºGRAU

Resolução de equações do 2° grau

A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

Fórmula Geral de Resolução

Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:

Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.

O valor b² -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b² -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:

Resolução de equações do 2° grau incompletas

Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada   para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .

Para o caso de apenas c = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:

Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU - CONCEITO

Equação do 2° grau

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à formaax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

Equação do 2° grau completa e equação do 2° grau incompleta

Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.

Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.

-x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.

Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.

SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

Simplificação de Radicais Através da Fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar  decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 3^6 _. 5³ podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 3⁶, quanto o expoente do fator 5³ são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 3^2 _. 5 _^. 7², então:

Como os expoentes dos fatores 3² e 7² são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 3⁶, então:

Neste caso o expoente de 3⁶ não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 3⁵ é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .

Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:

Logo:

Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:

Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em, a simplificação não poderá ser realizada.

fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx