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29/09/2013

Função Quadrática

Ao estudarmos a função afim vimos que sua lei de formação é baseada em um polinômio do primeiro grau na variável x. Analogamente a lei de formação de uma função quadrática é baseada num polinômio do segundo grau na variável x.
Toda função  na forma , com  ( e ) é denominadafunção quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.

Representação Gráfica de uma Função Quadrática

Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenadospertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.

Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:

 x y = -x2 + 10x - 14
2y = -22 + 10 . 2 - 14 = 2
3y = -32 + 10 . 3 - 14 = 7
4y = -42 + 10 . 4 - 14 = 10
5y = -52 + 10 . 5 - 14 = 11
6y = -62 + 10 . 6 - 14 = 10
7y = -72 + 10 . 7 - 14 = 7
8y = -82 + 10 . 8 - 14 = 2

Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.
Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.
Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto(5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.

Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas

De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Na função y = -x2 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).

Raiz da Função Quadrática

Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.
Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.
Sendo  a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:
Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.

Vértice e Concavidade da Parábola

Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a suaconcavidade é para baixo.

Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1:
Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.
Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?
Vamos identificar os coeficientes destas funções.
Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos:
Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:
Já tem algum palpite?
Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.

O gráfico da função  é côncavo para baixo quando a < 0:

Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:

Coordenadas do Vértice da Parábola

abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:
Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vérticepara conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.
Seus coeficientes são:
Então para a abscissa do vértice xv temos:
ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0:
Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:
Da outra maneira o cálculo seria:
Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.

Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática

Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.
Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.
Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.

Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática


Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5:
Os seus coeficientes são:
Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.
O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado:
1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:
Conhecendo o discriminante podemos calcular yv:
Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir umvalor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(xv).
Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.
Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:

Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática


Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x2 + 4x + 2:
Os coeficientes da regra de associação desta função são:
Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.
O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim:
6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor mínimo:
Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv).
Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.
Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:

Variação de Sinal da Função Polinomial do 1° Grau

Neste tópico vamos fazer o estudo do sinal da função afim, mas antes disto vamos ver alguns conceitos comozero da funçãofunção crescente e decrescente e coeficiente angular da função do 1° grau.

Zero ou Raiz da Função Polinomial do 1° Grau

Dada uma função afim definida por , com  e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, o valor de xque torna y = 0.

Vamos analisar o gráfico da função  que temos ao lado:
Podemos notar que no ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que neste caso é 3, anulando a função, ou seja, cujaordenada (y) é igual a zero. Então x = 3 é a raiz da função.
Toda função  na forma  possui uma única raiz.

Determinando a Raiz de uma Função Polinomial do 1° Grau

Vamos determinar algebricamente a raiz da função  que vimos acima.
Para que um valor x seja raiz da função, é preciso que tenhamos f(x) = 0.
Vamos realizar tal substituição na lei de formação da função:
Note que obtivemos uma equação do primeiro grau, portanto para determinarmos o valor de x basta que a solucionemos:
Como já era de se esperar, para y = 0 temos que x = 3, o que nos leva ao ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, como vimos destacado no gráfico anterior.
Resumindo, para determinarmos a raiz de uma função afim basta substituirmos o f(x) ou y da regra de associação da função, por 0 e solucionarmos a equação do primeiro grau encontrada, obtendo assim a raiz da função.

Função Crescente e Decrescente

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, ela é crescente ou decrescente para qualquer elemento do seu domínio, mas como isto não acontece para todas as funções, o conceito de função crescente e de função decrescente é aplicado a intervalos do domínio da função.

Função Crescente

Uma função é crescente em um dado intervalo [x1, x2] do seu domínio quando tivermos a seguinte implicação:

Ou:
Podemos ver no gráfico ao lado que quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), isto é, o valor de y também aumenta.
O ponto (x1, y1) está abaixo do ponto(x2, y2), o que indica que a função está crescendo.

Função Decrescente

Uma função é decrescente em um dado intervalo [x1, x2] do seu domínio quando tivermos a implicação a seguir:

Ou:
Como percebemos no gráfico ao lado, quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), ou seja, o valor de y pelo contrario diminui.
Neste caso o ponto (x1, y1) está acima do ponto (x2, y2), indicando que a função está decrescendo.
Vimos acima que podemos identificar se uma função afim é crescente ou descrente através do seu gráfico, mas e se não tivermos o gráfico da função?

Coeficiente Angular de uma Função Polinomial do 1° Grau

Em qualquer função afim definida por , com  e , assim identificamos a e b:
aCoeficiente angular
bCoeficiente linear
Quando estudamos as funções lineares vimos que é o valor do coeficiente b, o coeficiente linear, que determina a ordenada (y) do ponto com abscissa (x) igual a zero.
Agora vamos ver que através do coeficiente angular podemos determinar se uma função afim é crescente ou decrescente.
O coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. É a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas na direção positiva. Em nosso caso a reta é a do gráfico da função.
Quando a > 0 a função é crescente, pois ao aumentarmos o valor de x, o valor de y também aumenta.
Quando a < 0 a função é decrescente, já que ao aumentarmos o valor de x, o valor de y diminui.
Como já estudamos, por definição em uma função afim temos que , pois sabemos que quando temos uma função constante cuja reta no gráfico é paralela ao eixo das abscissas, não sendo portanto nemcrescente, nem decrescente.

No gráfico vimos que a função  é crescente.
Poderíamos chegar à mesma conclusão simplesmente analisando o seucoeficiente angular, como a = 3 temos que a > 0, logo a função é crescente.

Estudo do Sinal de uma Função Afim

Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central desta página.
Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1° grau nada mais é que identificar para quais valores dex temos f(x) com valor negativonulo ou positivo.

Vamos voltar ao gráfico da função  e analisá-lo deste outro ponto de vista.
Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos quef(x) < 0, pois estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.
Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é,f(x) = 0.
Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.

Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Afim

Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida por , terá a seguinte raiz:

Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0)


Como supracitado o fato de uma função afim ser crescente ou decrescente depende do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este:
Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz.
Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já quef(x) < 0 e estamos analisando a situação quando a > 0.
Continuando a análise do gráfico vemos que para valores de xmaiores que a raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a.
Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto é, a função é nula.

Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0)


Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos através deste outro gráfico:
Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira oposta ao que tínhamos quando a > 0.
Para valores de x menores que a raiz podemos observar quef(x) > 0, possuindo a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero.
Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a função o mesmo sinal de a.
Lembrando que a raiz da função  é , para uma melhor compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na seguinte tabela:

a < 0a > 0
f(x) < 0
f(x) = 0
f(x) > 0

Vamos novamente estudar o sinal da função , mas agora a partir do resumido por esta tabela.
Como a = 3 e portanto a > 0, vamos utilizar os dados a última coluna, além disto já vimos anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3.
Vamos reconstruir a tabela substituindo a raiz  pelo seu valor 3 e eliminando a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é positivo:

a > 0
f(x) < 0
f(x) = 0
f(x) > 0

Concluindo o estudo da função , partir da tabela temos que:
função é negativa para .
função é nula para .
função é positiva para .

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