Peano (Giuseppe Peano)

Fundador de Lógica Matemática

Peano nasceu no dia 27 de agosto de 1858 em Cuneo, Piemont, Itália, e morreu em 20 de abril de 1932 em Turin, Itália. Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal.

Peano estudou matemática na Universidade de Turin e se uniu ao de pessoal lá em 1880, sendo designado a uma cadeira em 1890. Em 1889 Peano publicou os seus axiomas famosos, chamados axiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos. Em 1891 ele fundou a Rivista di matematica, um diário dedicado principalmente a lógica e aos fundamentos da matemática.

Em 1886 Peano provou que se f(x,y) é contínua então a equação diferencial de primeira ordem dy/dx = f(x,y) tem uma solução. A existência de soluções com fortes hipóteses em f tinha sido mais cedo determinada por Cauchy e então Lipschitz. Quatro anos depois Peano mostrou que as soluções não eram únicas, dando como um exemplo a equação diferencial dy/dx = 3y, com y(0) = 0.

Peano introduziu os elementos básicos de cálculo geométrico e deu definições novas para o tamanho de um arco e para a área de uma superfície encurvada. Ele inventou as curvas 'space-filling' em 1890, estas são cartografias de [0,1] sobre a unidade quadrado. Hilbert, em 1891, descreveu similarmente curvas 'space-filling'.

Ele produziu uma definição axiomática do sistema de número natural e mostrou como o sistema de número real pode ser derivado destes postulados.

Peano estava também interessado em linguagens universais, ou internacionais, e criou a linguagem artificial Interlingua em 1903. Ele compilou o vocabulário levando palavras de inglês, francês, alemão e latim. Foi desenvolvido mais adiante por Alexander Gode. Porém, Peano considerou o seu trabalho em análise matemática ser de grande significado.

Embora Peano seja um fundador de lógica matemática, o filósofo e matemático alemão Gottlob Frege (1848-1925) é considerado o pai de lógica matemática.

Os axiomas de Peano ou postulados de Peano são um conjunto de axiomas para os números naturais introduzidos por Giuseppe Peano no século XIX. Os axiomas utilizaram-se praticamente sem mudanças para uma variedad de investigações metamatemáticas, incluindo questões a respeito da consistência e completitud na teoria de números.

Os axiomas de Peano não se ocupam do significado de "número natural", senão que o supõem e pretendem encontrar um sistema simples de axiomas que caracterizem os números naturais e nos permitam deduzir a partir destes, todas as propriedades dos números naturais, utilizando as regras da lógica.

Os cinco axiomas de Peano são os seguintes:

1.   O 1 é um número natural.

2.   Se n é um número natural, então o sucessor de n também é um número natural.

3.   O 1 não é o sucessor de nenhum número natural.

4.   Se há dois números naturais n e m com o mesmo sucessor, então n e m são o mesmo número natural.

5.   Se o 1 pertence a um conjunto, e dado um número natural qualquer, o sucessor desse número também pertence a esse conjunto, então todos os números naturais pertencem a esse conjunto. Este é o axioma de inducción, e captura a ideia de inducción matemática.

Há um debate sobre se considerar ao 0 como número natural ou não. Geralmente decide-se na cada caso, dependendo de se precisa-lho ou não. Quando se resolve incluir ao 0, então devem se fazer alguns ajustes menores:

1.   O 0 é um número natural.

2.   Se n é um número natural, então o sucessor de n também é um número natural.

3.   O 0 não é o sucessor de nenhum número natural.

4.   Se há dois números naturais n e m com o mesmo sucessor, então n e m são o mesmo número natural.

5.   Se o 0 pertence a um conjunto, e dado um número natural qualquer, o sucessor desse número também pertence a esse conjunto, então todos os números naturais pertencem a esse conjunto. Este é o axioma de inducción, e captura a ideia de inducción matemática.