PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO

Propriedades da Radiciação

As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.

A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário

Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:

Exemplo:

Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.

Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo

Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:

Exemplos:

Raiz de uma Potência

A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:

Exemplo:

Produto de Radicais de Mesmo Índice

O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:

Exemplo:

Vamos verificar:

Divisão de Radicais de Mesmo Índice

O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:

Exemplo:

Verificando:

fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx

RADICIAÇÃO - CONCEITO

RADICIAÇÃO

O tópico em questão agora é a radiciação que é a operação inversa da potenciação.

Observe a figura em vermelho à direita:

Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática  é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando.

Mas o que significa a raiz cúbica de oito?

Quando estudamos a potenciação, vimos que 2³ é igual a 2 _^. 2 _^. 2 que é igual a 8. Partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho inverso, araiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação.

Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo

A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:

Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par

Por quê?

Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por . Segundo a definição temos:

Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?

Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.

A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa

Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.

Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :

Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.

Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:

Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.

A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva

Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.

Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove:

Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.

Mas você pode também se perguntar:

E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!

Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?

Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.

A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula

Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.

Exemplo:

, pois .

fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx