Calculando Facilmente suas Raízes
Observe a seguinte equação:
x2 - 5x + 6 = 0
Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?
É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.
Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?"?
Segundo Girard, vimos que x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa oproduto destas raízes.
Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.
Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:
Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.
Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.
Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2° grau
Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 - 6x + 5 = 0.
Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".
Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:
Portanto 1 e 5 são as raízes da equação x2 - 6x + 5 = 0.Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 + 2x - 8 = 0.
Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".
Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:
Portanto -4 e 2 são as raízes da equação x2 + 2x - 8 = 0.Encontre as raízes da equação do segundo grau 4x2 - 12x + 8 = 0.
Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.
Segundo Girard a soma das raízes é dada por:
E o produto é dado por:
Assim sendo, para S temos:
E para P temos:
Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".
Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:
Portanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x2 - 12x + 8 = 0.Quais as raízes da equação x2 + 4x + 12 = 0.
Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.
Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?
Calculemos então o discriminante da equação:
Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.
Portanto a equação x2 + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.
Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.
Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.
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