Função Inversa

Aqui no Matemática Didática já estudamos as relações e também um tipo especial de relação chamada de função. Agora baseados nestes conhecimentos vamos estudar sobre funções inversas.

Vamos começar analisando o diagrama de flechas ao lado, referente à relação de A em B:

Como podemos observar esta relação se enquadra no conceito de função, pois não existe elemento de A que não esteja associado a algum elemento de B e todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B.

O conjunto A é o domínio da função é o conjunto B é o seucontradomínio.

Agora vamos fazer o seguinte:

Vamos inverter os conjuntos, fazendo com que o conjunto que eradomínio passe a contradomínio e vice-versa, invertendo assim a relação. Tais mudanças podem ser observadas neste novo diagrama de flechas:

E agora? A relação de B em A também está de acordo com o conceito de função?

Obviamente que não! Primeiro porque o elemento 4 de B não está associado a qualquer elemento de A e segundo porque o elemento 2 de Btem duas imagens em A.

Agora vejamos o diagrama de flechas desta outra relação que também representa uma função:

Temos uma função porque não existe em A, elemento que não esteja associado em B e todos os elementos de A se associam a apenas um elemento de B.

Assim como fizemos no caso anterior, vamos inverter a posição dos conjuntos, de sorte que o conjunto que era domínio passe acontradomínio e o conjunto que era contradomínio passe a domínio.

Podemos ver o resultado destas mudanças neste diagrama de flechas:

Veja que agora a relação de B em A está de acordo com o conceito de função.

Mas quando ao invertermos a relação deixaremos de ter uma função ou não?

Para que a inversão resulte também em uma função, na função original não pode haver no contradomínio qualquer elemento que esteja associado a mais de um elemento do domínio, ou seja, a função precisa ser injetora, pois se não for, quando invertermos os conjuntos, os elementos que recebiam mais de uma flecha irão agora disparar mais de uma flecha, como acontece no caso do elemento 2 do conjunto Bda primeira relação de exemplo.

Além disto na função original não pode haver no contradomínio qualquer elemento que não esteja associado a nenhum elemento do domínio, isto é o conjunto imagem deve coincidir com o contradomínio e, portanto, a função será sobrejetora. Na primeira relação de exemplo o elemento 4 do conjunto B não recebe nenhuma flechada e portanto não enviará nenhuma flecha também, quando invertermos a relação.

Ora se para ser inversível, além de injetora a função também precisa ser sobrejetora, então para que exista a função inversa de uma função, é preciso que ela seja uma função bijetora.

Determinando a Função Inversa de uma Função

A função inversível que vimos acima é definida por:

Já vimos que f(x) também pode ser expresso por y, então em consequência disto a função pode ser definida por:

Para obtermos a função inversa desta função primeiramente na regra de associação iremos trocar x por y e vice-versa. Então teremos:

Agora vamos isolar y no primeiro membro:

A definição da função inversa, já com a relação invertida, será então:

Ou ainda:

Outro Exemplo de Função Inversa

Vejamos a definição da função abaixo:

Que também pode ser definida por:

Como podemos ver no gráfico ao lado, no plano cartesiano esta função é representada por uma reta.

Esta função é injetora, pois não há dois valores reais distintos, que atribuídos a x venham resultar em um mesmo valor de y, ou de f(x). Em outras palavras estamos dizendo que em D(f) não existem dois elementos distintos que tenham a mesma Im(f), ou seja, cada elemento da imagem é flechado por um único elemento do domínio.

Esta função é sobrejetora, pois não existem elementos do contradomínioque não estão associados a algum elemento do domínio, isto é, o conjunto imagem é o próprio contradomínio.

Se a função é simultaneamente injetora e sobrejetora, então ela também é bijetora e por isto admite a função inversa.

Como explicado acima, vamos obtê-la substituindo x por y e vice-versa, isolando y no primeiro membro:

Portanto a definição da função será:

Ou ainda:

Neste outro gráfico temos no plano cartesiano a representação destas duas funções:

Em vermelho temos a representação gráfica da função e em azul representamos graficamente a sua função inversa.

Observe os pontos (-3, 0) e (0, 1) pertencentes à função f, em vermelho.

Agora veja os pontos (0, -3) e (1, 0) pertencentes à função f^-1, em azul.

Note que os pontos destacados na função f^-1 são os pontos da função f, os quais tiveram invertida a ordem dos elementos do par ordenado. Isto porque:

Se f^-1 é a função inversa de f, f também é a função inversa de f^-1, ou seja, f e f^-1 são funções inversas entre si.

Exemplos de Funções que Não Admitem a Função Inversa

Vamos analisar a função definida abaixo:

Para identificarmos que esta função não admite a função inversa basta compreendermos que ela não é umafunção sobrejetora.

Se ela fosse sobrejetora todos os elementos do contradomínio estariam associados a pelo menos algum elemento do domínio, mas isto não acontece para todos os elementos do contradomínio.

Note que o número 0, que pertence ao contradomínio da função, não pertence ao conjunto imagem, pois não há qualquer número do domínio que esteja associado a ele, afinal de contas qual é o número real que dividindo o número 1 resultará em 0?

Como o conjunto imagem difere do contradomínio, esta não é uma função sobrejetora.

Agora vamos analisar esta outra função assim definida:

Esta é uma função do 2° grau e graficamente podemos assim representá-la no plano cartesiano:

Esta função não é injetora, pois há infinitos pares de elementos distintos do seudomínio que possuem a mesma imagem.

Para qualquer valor de x diferente de 0, existe um elemento de valor -x com a mesmaimagem de x, por exemplo, note que os elementos 1 e -1 possuem a mesma imagem:

Como os elementos 1 e -1 do domínio flecham o mesmo elemento 3 do contradomínio, esta função não éinjetora.

Ainda observando este gráfico podemos notar que nem ao menos sobrejetora é esta função.

O conjunto imagem desta função é:

Isto porque todos os números reais menores que 2 pertencem ao seu contradomínio, mas não à sua imagem. Portanto a função não é sobrejetora.