Variação de Sinal da Função Polinomial do 1° Grau

Neste tópico vamos fazer o estudo do sinal da função afim, mas antes disto vamos ver alguns conceitos comozero da função, função crescente e decrescente e coeficiente angular da função do 1° grau.

Zero ou Raiz da Função Polinomial do 1° Grau

Dada uma função afim definida por , com  e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, o valor de xque torna y = 0.

Vamos analisar o gráfico da função  que temos ao lado:

Podemos notar que no ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que neste caso é 3, anulando a função, ou seja, cujaordenada (y) é igual a zero. Então x = 3 é a raiz da função.

Toda função  na forma  possui uma única raiz.

Determinando a Raiz de uma Função Polinomial do 1° Grau

Vamos determinar algebricamente a raiz da função  que vimos acima.

Para que um valor x seja raiz da função, é preciso que tenhamos f(x) = 0.

Vamos realizar tal substituição na lei de formação da função:

Note que obtivemos uma equação do primeiro grau, portanto para determinarmos o valor de x basta que a solucionemos:

Como já era de se esperar, para y = 0 temos que x = 3, o que nos leva ao ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, como vimos destacado no gráfico anterior.

Resumindo, para determinarmos a raiz de uma função afim basta substituirmos o f(x) ou y da regra de associação da função, por 0 e solucionarmos a equação do primeiro grau encontrada, obtendo assim a raiz da função.

Função Crescente e Decrescente

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, ela é crescente ou decrescente para qualquer elemento do seu domínio, mas como isto não acontece para todas as funções, o conceito de função crescente e de função decrescente é aplicado a intervalos do domínio da função.

Função Crescente

Uma função é crescente em um dado intervalo [x₁, x₂] do seu domínio quando tivermos a seguinte implicação:

Ou:

Podemos ver no gráfico ao lado que quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), isto é, o valor de y também aumenta.

O ponto (x₁, y₁) está abaixo do ponto(x₂, y₂), o que indica que a função está crescendo.

Função Decrescente

Uma função é decrescente em um dado intervalo [x₁, x₂] do seu domínio quando tivermos a implicação a seguir:

Ou:

Como percebemos no gráfico ao lado, quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), ou seja, o valor de y pelo contrario diminui.

Neste caso o ponto (x₁, y₁) está acima do ponto (x₂, y₂), indicando que a função está decrescendo.

Vimos acima que podemos identificar se uma função afim é crescente ou descrente através do seu gráfico, mas e se não tivermos o gráfico da função?

Coeficiente Angular de uma Função Polinomial do 1° Grau

Em qualquer função afim definida por , com  e , assim identificamos a e b:

a: Coeficiente angular

b: Coeficiente linear

Quando estudamos as funções lineares vimos que é o valor do coeficiente b, o coeficiente linear, que determina a ordenada (y) do ponto com abscissa (x) igual a zero.

Agora vamos ver que através do coeficiente angular podemos determinar se uma função afim é crescente ou decrescente.

O coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. É a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas na direção positiva. Em nosso caso a reta é a do gráfico da função.

Quando a > 0 a função é crescente, pois ao aumentarmos o valor de x, o valor de y também aumenta.

Quando a < 0 a função é decrescente, já que ao aumentarmos o valor de x, o valor de y diminui.

Como já estudamos, por definição em uma função afim temos que , pois sabemos que quando temos uma função constante cuja reta no gráfico é paralela ao eixo das abscissas, não sendo portanto nemcrescente, nem decrescente.

No gráfico vimos que a função  é crescente.

Poderíamos chegar à mesma conclusão simplesmente analisando o seucoeficiente angular, como a = 3 temos que a > 0, logo a função é crescente.

Estudo do Sinal de uma Função Afim

Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central desta página.

Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1° grau nada mais é que identificar para quais valores dex temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.

Vamos voltar ao gráfico da função  e analisá-lo deste outro ponto de vista.

Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos quef(x) < 0, pois estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é,f(x) = 0.

Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.

Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Afim

Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida por , terá a seguinte raiz:

Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0)

Como supracitado o fato de uma função afim ser crescente ou decrescente depende do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este:

Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz.

Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já quef(x) < 0 e estamos analisando a situação quando a > 0.

Continuando a análise do gráfico vemos que para valores de xmaiores que a raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a.

Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto é, a função é nula.

Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0)

Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos através deste outro gráfico:

Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira oposta ao que tínhamos quando a > 0.

Para valores de x menores que a raiz podemos observar quef(x) > 0, possuindo a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero.

Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a função o mesmo sinal de a.

Lembrando que a raiz da função  é , para uma melhor compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na seguinte tabela:

	a < 0	a > 0
f(x) < 0
f(x) = 0
f(x) > 0

Vamos novamente estudar o sinal da função , mas agora a partir do resumido por esta tabela.

Como a = 3 e portanto a > 0, vamos utilizar os dados a última coluna, além disto já vimos anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3.

Vamos reconstruir a tabela substituindo a raiz  pelo seu valor 3 e eliminando a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é positivo:

	a > 0
f(x) < 0
f(x) = 0
f(x) > 0

Concluindo o estudo da função , partir da tabela temos que:

A função é negativa para .

A função é nula para .

A função é positiva para .